克拉默法則

克拉默法則把方形線性方程組中的每個未知數寫成兩個行列式之比。要求 x_k，分母取 det(A)，分子則把 A 的第 k 行換成右端 b 後取那個行列式，再相除。它是一個極其顯式的公式——每個解座標都純粹用資料的行列式寫出。

確切地說，對 A x = b 且 A 可逆（det(A) != 0），解為 x_k = det(A_k) / det(A)，其中 A_k 是把 A 的第 k 行換成 b 所得。證明純靠多重線性：det(A_k) 是把第 k 行換成 b = x_1*(行 1) + ... + x_n*(行 n) 後 A 的行列式；對該行按線性展開，交替性消去除攜帶 x_k 乘 det(A) 那一項外的所有項。

它的價值是概念性與理論性的。克拉默法則證明解恰在 det(A) != 0 時存在且唯一，並展示每個 x_k 如何光滑地（有理地）依賴於 A 與 b 的元素——這對敏感性分析、符號解與存在性證明極有價值。它還讓與伴隨的聯繫一目了然：它不過是逐行讀出逆矩陣公式 A^-1 = adj(A)/det(A)。

注意：不要用它來計算。對 n 個未知數它要求 n+1 個行列式，每個本身就昂貴，工作量遠超高斯消元的 O(n^3)——而且在接近奇異的 A 附近數值脆弱，兩個近零行列式之比不穩定。克拉默法則用於理解、用於極小或符號系統，而非生產求解。