作為帶符號體積的行列式

關於行列式最乾淨的心象：把一個矩陣的 n 個行向量餵給它，它返回這些行所張成的盒子（平行多面體）的帶符號 n 維體積。二維時是兩個向量上平行四邊形的帶符號面積；三維時是三個向量上平行多面體的帶符號體積。「帶符號」意味著它還用正負號記錄定向。

因為 det 是單位立方體的像的帶符號體積，所以 det(A) 恰是線性映射 A 縮放任何體積的倍數：體積為 V 的區域被送到體積為 |det(A)| * V 的區域。若 det(A) = 0，立方體被壓扁進更低的維度（行線性相關）；若 det(A) 為負，映射把盒子翻裡作面，顛倒了手性。

這一幾何解讀毫不費力地解釋了代數。多重線性是「一條稜加倍，體積加倍」。交替性是「兩條稜相等意味著扁平的零體積盒子」。乘性 det(AB) = det(A) det(B) 是「先做一次體積縮放，再做一次，縮放倍數相乘」。你可以靠畫圖重新推出這些法則。

注意：這裡的「體積」是與標準基綁定的自然（勒貝格）體積；符號依賴於所選的定向。對一個算子而言，數 det(A) 是無基的，但「單位體積為 1」這一概念本身要求你聲明一個參照盒子。換掉這個參照，「體積」的絕對尺度就會改變，儘管體積之比——從而算子的 det——不變。