雅可比行列式

雅可比行列式是多元映射一階偏導數矩陣的行列式。它是局部的體積縮放因子：足夠靠近一點放大，光滑的非線性映射看起來就像線性映射（即它的導數），而這個線性近似的行列式告訴你映射在該點附近把微小體積拉伸或壓縮多少——並含符號以指示是否翻轉定向。

對從 R^n 到 R^n、分量為 F_1, ..., F_n 的映射 F，雅可比矩陣為 J = [ partial F_i / partial x_j ]，雅可比行列式即 det(J)，常記作 det(DF) 或帶豎線的偏導符號。它逐點變化，因為線性近似隨你移動而改變；它正是把「作為體積的行列式」這一思想施加於 F 在每處的最佳線性模型。

這是行列式理論與微積分的相遇，其招牌角色是積分的換元公式：當你換入新座標時，被積函數會乘上 |det(J)| 因子，因為這正是換元對體積元 dV 的重新縮放倍數。反函數定理同樣以它為樞紐——F 在一點附近局部可逆，當且僅當它在該點的雅可比行列式非零，呼應著線性世界裡「det != 0 即可逆」。

注意：在換元積分中用雅可比的絕對值（體積為正）；det(J) 的符號另行記錄定向，在定向積分理論中很重要。還有，一點處雅可比非零只給出局部可逆，而非全局——一個映射可以處處局部一一，卻在全局上繞回（極座標是標準的警示例子）。