辛群 Sp(2n)

正交矩陣保持一個對稱形式（內積，它給你長度）。辛矩陣保持的則是一個交替形式——一種度量有向面積而非長度的配對。辛群是經典力學的天然對稱群，其中位置與動量恰由這樣一個形式配成對。

固定標準辛形式 omega(x, y) = x^T J y，其中 J = [0, I; -I, 0] 是 2n x 2n 的分塊矩陣。於是 Sp(2n, F) = { A : A^T J A = J }。這是正交條件 A^T A = I 的交替形式類比；你只是把對稱的 I 換成了反對稱的 J。這些矩陣生活在偶數維 2n 中，因為交替形式需要成對的坐標。

幾何上，辛映射保持 omega，因而保持 omega 所度量的一切有向二維面積。在哈密頓力學中，系統的時間演化是辛的——劉維爾定理（相空間體積守恆）是其一個推論，因為保持 omega 迫使 det A = 1，故 Sp(2n) 坐落於 SL(2n) 之中。

關於保持什麼、不保持什麼的一點提醒：辛映射一般並不保持長度或角度——Sp(2n,R) 是非緊的，且遠大於 O(2n)。三個世界唯一相會之處是「么正技巧」：Sp(2n,R) 與 O(2n) 之交同構於 U(n)，這一事實把辛幾何接回到複結構上。