不變子空間

想像算子 T 把空間裡的每個向量都搬動一番。一個子空間 W 是不變的，如果 T 永遠不會把 W 裡的向量扔到 W 外面：你從 W 裡取一個東西，得到的總還在 W 裡。這個子空間對 T 是封閉的。

確切地說，W 是 V 的子空間，且 T(W) 包含於 W，即對每個 W 中的 w 都有 T(w) 仍在 W 中。於是限制 T|W 本身就是 W 上的一個算子，你可以在更小的舞台 W 上單獨研究 T。特徵空間、核、像都是不變的；整個空間 V 和零子空間是平凡的兩個。

這是一切典範形背後的核心思想。把 V 拆成不變的若干塊，正是讓矩陣變成分塊對角或三角的關鍵：每個不變子空間對應一個塊。一點提醒——不變只說 T 把 W 映進 W，不是映滿 W，也完全沒保證存在一個互補的不變塊。