循環子空間

從單個向量 v 出發，不停地用 T 作用它：你得到 v、Tv、T^2 v、T^3 v，如此下去。這整條軌道的張成就是 v 生成的循環子空間。它是包含 v 的最小不變子空間——你不可能把 v 放進一個不變子空間裡卻不把它所有的 T 像也拖進來。

記作 Z(v, T) = span{ v, Tv, T^2 v, ... }。因為 V 是有限維的，這些冪遲早線性相關：存在最小的 k，使 T^k v 是 v、Tv、…、T^(k-1) v 的組合。於是 v、Tv、…、T^(k-1) v 構成 Z(v, T) 的一組基，而那條多項式關係正是 T 限制到該子空間上的極小多項式。

在基 v、Tv、…、T^(k-1) v 下，T 的限制長得像一個友矩陣，這是有理典範形的基本積木。所以循環子空間是一種不離開基域就分解算子的辦法——不需要特徵值，也不需要擴域。要注意：算子在整個 V 上是循環的，當且僅當它的極小多項式與特徵多項式相等。