複（埃爾米特）內積

在第一卷中，R^n 上的點積讓你度量長度與角度。在複數域上，樸素的求和 sum z_k w_k 通不過一項基本檢驗：向量應當具有實的、非負的長度。補救辦法是對一個因子取共軛，於是 <z,z> = sum z_k conj(z_k) = sum |z_k|^2，這是一個真正非負的實數。

精確地說，複向量空間 V 上的複內積是映射 <-,-> : V x V -> C，它在一個分量上線性（我們取第一個），共軛對稱（<u,v> = conj(<v,u>)），且正定（<v,v> >= 0，等號僅當 v = 0）。共軛對稱迫使 <v,v> 等於它自己的共軛，因而為實數，於是正定性才有意義。

由於該形式在第一分量上線性，而共軛對稱把一個共軛拋到第二分量上，所以它在第二分量上是共軛線性的：<u, c v> = conj(c) <u,v>。這種不對稱正是實長度的代價，它會向下傳播到處處——傳到伴隨、極化恆等式以及譜定理。

關於約定的一點提醒：物理學家常讓第二分量線性（狄拉克的左右矢記號），數學家通常讓第一分量線性。數學內容完全相同，只是共軛挪了位置。動手計算前先定下你的約定，否則每個共軛都會落在錯誤的一側。