伴隨算子

矩陣的轉置交換列與行，但那是座標的把戲。伴隨是其無座標版本：T^* 是讓你把 T 從內積的一側挪到另一側的算子。它是內積自身的轉置概念。

定義：給定 T : V -> W，其伴隨 T^* : W -> V 是滿足 <T u, v> = <u, T^* v>（對一切 u 屬於 V、v 屬於 W）的唯一算子。存在性與唯一性直接來自里斯定理：固定 v，映射 u -> <T u, v> 是泛函，故它等於某唯一 w 的 <u, w>，我們命名該 w = T^* v。

在標準正交基的座標下，T^* 恰是共軛轉置：(T^*)_{jk} = conj(T_{kj})。在實數域上共軛消失，T^* 就是普通轉置。這就是為何關於轉置的每個事實——但以不變方式陳述——其實都活在伴隨這一層。

一個警告：矩陣等於共軛轉置這一恆等式要求標準正交基。在歪斜的基下，伴隨會帶上格拉姆矩陣作為修正。伴隨由內積而非座標定義，唯有標準正交座標才能乾淨地報告它。