里斯表示定理

V 上的線性泛函是線性映射 phi : V -> F，它吃進一個向量、吐出一個純量——就是矩陣的列、對偶向量、V* 中的元素。里斯定理給出驚人的論斷：在有限維內積空間上，每個這樣的泛函暗中都只是「與某固定向量作內積」。

精確地說：對每個線性泛函 phi，存在唯一向量 v 屬於 V，使得 phi(u) = <u,v> 對一切 u 成立。向量 v 就是喬裝的泛函。要構造它，取標準正交基 e_1,...,e_n，令 v = sum conj(phi(e_k)) e_k；直接驗證 <u,v> = phi(u) 即可。

這給出 V 與其對偶 V* 的一個典範認同，無需選取基——只需內積。（在複情形中映射 phi -> v 是共軛線性的，故有人稱之為反線性同構。）內積正是讓一個空間看見自身對偶的那種結構。

里斯是伴隨背後的引擎：要定義 T^*，固定 v，注意 u -> <T u, v> 是一個泛函，里斯便交給你表示它的唯一向量 T^* v。在無窮維中，對於帶有界泛函的希爾伯特空間該定理仍成立——是泛函分析的基石。