自伴算子

自伴算子就是等於自己伴隨的算子：T = T^*。在標準正交基的座標下，這意味著矩陣等於它的共軛轉置（埃爾米特），或在實情形等於它的普通轉置（對稱）。這是整個線性代數中性質最好的算子。

定義恆等式 <T u, v> = <u, T v>（對一切 u,v）使二次型 <T v, v> 對每個 v 都為實（因它等於自己的共軛）。由此得兩份禮物：每個特徵值都是實的，且不同特徵值的特徵向量自動正交。兩者都是簡短而令人滿意的證明，你應當親手做一次。

桂冠是譜定理：有限維空間上的自伴算子擁有一組由特徵向量構成的標準正交基，因而可用正交（酉）變換對角化，且特徵值為實。實對稱矩陣與複埃爾米特矩陣恰是那些可由旋轉對角化的矩陣。

自伴性是對稱的抽象面孔，且無處不在：光滑函數的黑塞矩陣、隨機向量的共變異數矩陣、量子系統的哈密頓量。凡是要求實譜與正交特徵結構之處，自伴性正是在背後發力的假設。