內積空間與伴隨算子
正（半）定算子
正算子是二次型從不為負的自伴算子 T：<T v, v> >= 0 對一切 v 成立。若對每個非零 v 嚴格成立，T 為正定；若可取到零，則為半正定。可把它想成一個總把向量至少部分推回向自身、絕不推向對側的算子。
若干等價條件值得作為一個整套記住：T 自伴且全部特徵值 >= 0；<T v, v> >= 0 對一切 v；T = S^* S 對某算子 S；以及 T 有唯一的正平方根 sqrt(T)（一個正算子 R 滿足 R^2 = T）。正是這個平方根讓你能對算子取誠實的幾何平均。
自伴性是定義的一部分，而非附贈：它保證 <T v, v> 為實，使不等式有意義，並交付實的、非負的譜。在座標下，這些恰是第一卷中的正（半）定埃爾米特或對稱矩陣，如今以不變的方式來看。
它們無處不在，因為平方就產生它們：任何 A^* A 都半正定（其特徵值是 A 的奇異值的平方），每個格拉姆矩陣都半正定，每個共變異數矩陣都半正定。正定性是某物源自平方和的代數簽名。
<T v, v> >= 0 for all v <=> T = T^* and all lambda >= 0 <=> T = S^* S
正定性的三副等價面孔：非負二次型、非負譜、以及 S^* S 形式的分解。
平方根確有大用：它給出極分解 T = U sqrt(T^* T)，即把複數寫成（模）（相位）的算子類比。唯一性要求取正平方根——平方根有許多，非負的只有一個。
又稱
另見