正規算子

正規算子是與自己伴隨可交換的算子：T T^* = T^* T。這條件看似技術性，卻恰好圈定了譜定理完整成立的那一類算子：T 正規當且僅當它（在 C 上）擁有一組由特徵向量構成的標準正交基。

自伴算子（T = T^*）是正規的，酉算子（T^* = T^-1）是正規的，斜伴算子（T^* = -T）也是正規的——它們都是特例，僅以特徵值落在複平面何處（實軸、單位圓、虛軸）相區別。正規性是統一它們的大傘。

為何與 T^* 可交換如此重要？因為它迫使 ||T v|| = ||T^* v|| 對每個 v 成立，從而使 T 的特徵向量同時也是 T^* 的特徵向量（特徵值取共軛）。這種對 T 與 T^* 的對稱把握，正是允許同時正交對角化的關鍵。

界限很銳利：一個非正規矩陣，比如單個非平凡的若爾當塊，可能根本不可對角化，即便可對角化，其特徵向量也未必正交。正規性正是酉變換能完全馴服的算子與不能者之間精確的分界線。