伴隨恆等式

伴隨不只是個定義；它服從一套值得背下來的整潔代數。它對純量共軛線性，(c T)^* = conj(c) T^*；可加，(S + T)^* = S^* + T^*；對乘積反序，(S T)^* = T^* S^*；對合，(T^*)^* = T；並把恆等映為恆等。這些是撒了共軛的轉置法則的鏡像。

反序律 (S T)^* = T^* S^* 是人們最易出錯之處。它與逆或轉置的翻轉相同：先施 S 再施 T，伴隨便逆序把它們解開。用 <S T u, v> = <u, (ST)^* v> 快速核對即可確認這個交換。

最深刻的恆等式是四個基本子空間關係：ker T^* = (im T)-perp 與 im T^* = (ker T)-perp，外加兩個夥伴 ker T = (im T^*)-perp 與 im T = (ker T^*)-perp。它們說伴隨恰好把核換成像的補。

這些關係是第一卷四個基本子空間的正交升級版。它們把秩-零度的記帳幾何化：定義域裂為 ker T (+) im T^*，到達域裂為 im T (+) ker T^*，而 T 是兩個非核部分之間乾淨的同構。最小二乘、SVD 與偽逆全都正建立在此之上。