正交補

給定內積空間 V 的子空間 W，其正交補 W-perp 是與 W 中一切都垂直的全體向量：W-perp = { v 屬於 V : <v, w> = 0 對一切 w 屬於 W }。它是「V 中完全背離 W 的那部分」最乾淨的概念。

W-perp 本身永遠是子空間（垂直向量的線性組合仍垂直），且 W 交 W-perp = {0}，因為與自身正交的向量範數為零。在有限維中，頭條結論是正交分解 V = W (+) W-perp：每個向量都唯一地裂為 W 中一塊加 W-perp 中一塊。

正是這個直和分解使正交投影有了良定義，並把幾何化為代數：dim W + dim(W-perp) = dim V，且 (W-perp)-perp = W（在有限維中）。正交補是個誠實的對合——取兩次補便回到原處。

對無窮維的告誡：分解 V = W (+) W-perp 需要 W 是閉的（完備），而 (W-perp)-perp 給出的是 W 的閉包，而非 W 本身。有限維情形把這些微妙之處藏了起來，因為每個子空間都自動是閉的。