純量域

每個向量空間都建立在一個所選的域 F 之上，它的純量恰好是 F 的元素。域是一個集合，在其中你可以加、減、乘，並能除以任何非零元，且服從一切慣常規則——R 與 C 是域，有理數 Q 與質數 p 的模 p 整數構成的有限域 F_p 也是。開始之前先選定 F；它是空間資料的一部分，而非事後補充。

域不是被動的背景——它支配著什麼為真。多項式 x^2 + 1 在 R 上無根，因此實算子可能沒有特徵值；在 C 上它分裂，每個算子都有特徵值。在有限域 F_2 = {0, 1} 上只有兩個純量，於是過原點的一條「直線」僅含兩個點。換一個域，你幾乎改變了其後每一個問題的答案：哪些矩陣可對角化、哪些多項式可因式分解，甚至有限維空間含有多少個向量。

為何堅持用域而不只是 R？因為證明用到的全部只是你能除以非零純量。高斯消元除以主元；求基時除法用於歸一化；整套理論靠除法運轉。恰好要求這一點——一個域——你便得到最乾淨的設定，使一切熟悉的機器照常運作，無論純量多麼奇異。

一句警示：去掉除法要求，你就完全離開了向量空間的世界。來自缺乏逆元之環（如整數 Z）的純量給出的是模而非向量空間，而模會失常——基可能不存在。讓 F 保持為真正的域，正是保證第一卷那些舒適結果能存活到第二卷的關鍵。