作為向量空間的域擴張

在此線性代數伸入了數論。若一個域 K 含有一個更小的域 F（一個擴張，記作 K 在 F 上），則 K 自動是 F 上的向量空間：它的元素是「向量」，F 的元素是純量，而域自身的加法與乘法供給了向量空間運算。同一個集合 K 戴著兩頂帽子——它本身是一個域，又是子域 F 上的一個向量空間。

一旦 K 是 F 上的向量空間，它便有維數，而該維數獲得一個特別的名字：擴張的次數，記作 [K : F]。於是這座橋是精確的——一個關於 K 比 F 大多少的問題，變成一個關於維數的問題，可用基與維數定理來回答。第一卷與本領域的整套機器，驟然可用於研究域。

最乾淨的例子是 C 在 R 上。每個複數都是 a + b*i（a, b 為實數），故 {1, i} 是一組基，C 是二維實向量空間：[C : R] = 2。同樣，Q(sqrt 2)，即添加 sqrt 2 的有理數，在 Q 上以 {1, sqrt 2} 為基，每個元素都是 a + b*sqrt 2（a, b 為有理數），故其次數為 2。添加一個立方根則給出次數 3，基為 {1, c, c^2}。

為何重要：次數的可乘性——若 F < K < L 則 [L : F] = [L : K]*[K : F]——不過是空間塔中維數相乘的陳述，也是經典不可能性證明背後的引擎（你無法用圓規與直尺三等分一個角或倍立方）。一個聽起來像幾何的定理，由對域擴張維數的計數定奪。線性代數正在喬裝著挑大樑。