維數定理

維數定理是使「維數」成為合法用詞的結果：同一個向量空間的任意兩組基有相同數目的元素。沒有它，你便無法誠實地說 R^3「是三維的」——說不定某組巧妙的基有四個向量？這條定理排除了這種可能。給定空間的每組基都有相同的大小，於是那個共同的大小可被一勞永逸地命名：維數。

在有限維中，引擎是施泰尼茨交換引理：任何線性無關集都不可能大於任何張成集，因為你能把無關向量逐個換入張成集而不縮小其張成。既然基既無關又張成，兩組基便從兩個方向互相界定大小，迫使它們相等。證明是純粹的計數，沒有依賴具體域的魔法。

同一陳述在無窮維中也成立，只是以基數代替計數：V 的任意兩組哈梅爾基之間存在雙射——它們有相同的基數。論證需更多小心（且需選擇公理），但結論相同：維數，無論有限或無窮，都是空間的內稟不變量，對你恰好選了哪組基視而不見。

為何這如此重要：維數是我們擁有的第一個、也是最穩健的不變量。同一域上的兩個空間同構，當且僅當它們維數相同——句號。於是維數在同構意義下完全分類了向量空間，這是代數其他分支都不曾如此乾淨地享有的。其後每個不變量（秩、重數、符號差）在某種意義上都是這一個基礎計數的精細化。