向量空間同構

向量空間 V 與 W 之間的同構是一個既線性又雙射——單射且滿射——的映射 T: V -> W。線性意味著它尊重兩種運算，T(a*u + b*v) = a*T(u) + b*T(v)；雙射意味著它既不丟失也不臆造任何東西。當這樣的 T 存在時，我們稱 V 與 W 同構，記作 V 同構於 W，且逆映射 T^-1 自動也是線性的，故此關係是對稱的。

同構意味著就線性代數所能分辨而言，兩個空間是相同的。同構是一次完美的重新標號：它把基送到基、把無關集送到無關集、把子空間送到子空間，並保持每個維數與結構關係。任何僅用向量空間運算可證的陳述，在 V 中為真恰當它在 W 中為真。兩個空間看上去可能截然不同——一個是多項式，另一個是列向量——卻在線性代數上無從區分。

基石定理：域 F 上每個 n 維空間都同構於 F^n。取 V 的一組基 e_1, ..., e_n，把每個向量送到它的座標元組；該映射是到 F^n 的線性雙射。於是次數 <=3 的多項式、2 乘 2 矩陣與 R^4 都是「同一個」四維實空間穿著不同的戲服。這正是為何第一卷關於 R^n 的結果悄然統轄每個有限維空間。

誠實的妙語是維數定理的孿生兄弟：F 上兩個有限維空間同構，當且僅當它們維數相等。維數是完全不變量——它是同構唯一可能無法匹配的東西。這是向量空間獨有的奢侈，也是使線性代數遠比群、環或拓撲空間那些更雜亂的分類來得易於駕馭的原因。