無窮維空間

當沒有任何有限的向量集張成一個空間時——等價地，當它含有一個無窮的線性無關集時——這個向量空間就是無窮維的。這樣的空間無論你把 n 取得多大都裝不進任何 F^n。所有次數的多項式、實數序列、區間上的連續函數：每個都需要無窮多個基向量，是真正無窮維的。

最乾淨的判據是單項式。在全體多項式空間中，1, x, x^2, x^3, ... 永遠線性無關——更高次冪的任何有限組合都不會等於一個較低次的——故沒有任何有限列表能成為基。這一個例子證明了無窮維性，也是通往整個主題的平緩入口，因為它仍有一組你能顯式寫下的基。

這正是有限維直覺開始裂開之處，而裂縫很有啟發。一個算子可以是單射卻非滿射（把 (a_1, a_2, ...) 送到 (0, a_1, a_2, ...) 的移位是單射，卻漏掉一切首項非零者）——方陣那條舒適的「單射當且僅當滿射」失效了。一個空間可與它自身的一個真子空間同構。和未必收斂，而大多數有用的「基」成為無窮的拓撲基，而非哈梅爾基。

誠實的說法是：無窮維正是代數把接力棒交給分析之處。要馴服這些空間，你通常添加一個範數或內積以及極限概念，抵達巴拿赫空間與希爾伯特空間，以及有界算子與緊算子的理論——本卷最後一軌的主題。純代數仍然適用，但有趣的問題變成了拓撲的。本詞條是那道門；算子一軌穿門而過。