函數空間

這便是讓抽象值得一搏的例子：函數本身就是向量。固定一個集合 X 與一個域 F，令 V 為全體函數 f: X -> F。逐點相加，(f + g)(x) = f(x) + g(x)，並按 (a*f)(x) = a*f(x) 縮放。檢驗八條公理——它們自動成立，因為 F 已在每一點遵守它們——於是 V 是一個向量空間，其「箭頭」是一整個函數。

限制允許哪些函數，便引出一隊熟悉的角色。次數至多 n 的多項式構成一個 (n+1) 維空間，以 1, x, x^2, ..., x^n 為基。全體多項式構成一個以無窮基 1, x, x^2, ... 為基、沒有任何有限基的空間。[0,1] 上的連續函數、可微函數、某個固定線性微分方程的解——每個都是函數空間，且每個都繼承了由公理證明的每條定理。

這是典範的無窮維例子，正是在此處線性代數不再關乎數字方格，而開始為分析學供能。微分 D 與積分是函數空間之間的線性映射；D 的一個特徵函數是滿足 Df = lambda*f 的函數 f，即 e^(lambda*x)。傅立葉級數把一個函數在正弦與餘弦的標準正交「基」中展開。第一卷的語言一旦施於函數，便成為現代數學與物理的引擎。

一句誠實的告誡：在無窮維中那些舒適的事實可能失效。多項式有一個你能寫下的基，但全體連續函數空間卻沒有任何你能展示的基——只有一個由佐恩引理保證存在的抽象之基（哈梅爾基）。函數空間正是你首次感到有限維與無窮維之間地面位移之處。