約當塊的函數

怎麼把一個函數 f（如 exp、sqrt 或多項式）作用到矩陣上？在單個約當塊上，答案優美而顯式：f(J_k(lambda)) 是上三角的，對角線上是 f(lambda)，往上的各條超對角線依次是 f'(lambda)、f''(lambda)/2!、...——即 f 在 lambda 處的泰勒係數。

把 J 寫成 lambda*I + N，其中 N 是冪零移位（N^k = 0）。則形式上 f(J) = sum（j>=0）f^{(j)}(lambda)/j! * N^j，由於 N^k = 0，這個和在 k 項後終止。因為 N^j 在第 j 條超對角線上為 1，所以 f(J) 的 (p,q) 元在 q >= p 時為 f^{(q-p)}(lambda)/(q-p)!，對角線以下為 0。只有 f(lambda), f'(lambda), ..., f^{(k-1)}(lambda) 這些值有關係。

這是矩陣函數演算的引擎。要對一般 A 計算 f(A)：換到約當基使 A = P J P^-1，用上面的泰勒公式逐塊作用 f，再共軛回去：f(A) = P f(J) P^-1。只要 f 在每個特徵值附近解析（且所需導數存在），它就成立。

正是這條注意點讓約當形在此不可或缺：對一個虧損（defective）矩陣，你確實需要導數，而不只是值 f(lambda)。一個僅僅可對角化的矩陣只會在每個特徵值上用 f(lambda)；超對角線上的那些導數項，恰恰是非對角線上的 1 留下的印記。