借約當形求矩陣指數

矩陣指數 exp(A) = I + A + A^2/2! + ... 是線性微分方程的鑰匙：x'(t) = A x(t)、x(0) = x_0 的解是 x(t) = exp(t A) x_0。約當形把這個無窮級數變成一段簡短、精確、逐塊的計算。

把 A 寫成 P J P^-1。則 exp(t A) = P exp(t J) P^-1，而 exp(t J) 是分塊對角的，每個約當塊對應一個指數。對單個塊，exp(t J_k(lambda)) = e^{t lambda} * exp(t N)，其中 N 是冪零移位；由於 N^k = 0，exp(t N) = I + t N + t^2 N^2/2! + ... + t^{k-1} N^{k-1}/(k-1)! 是 t 的有限次多項式。

於是 exp(t A) 的各元都是 e^{lambda t} 乘以 t 的多項式的組合，多項式次數由塊大小掌控：大小為 k 的塊貢獻直到 t^{k-1} e^{lambda t} 的項。這正是為何虧損線性 ODE 系統的解帶有 t 的冪因子（共振），而非純指數。

它的身影遠不止於 ODE：在矩陣群一章裡，exp 把李代數映到李群，而單參數子群 t -> exp(t A) 是基本的流。exp 的約當圖像解釋了它們的增長與振盪。（對複特徵值 lambda = a + i b，e^{lambda t} = e^{a t}(cos b t + i sin b t) 把增長與旋轉分開。）