借約當形求矩陣冪

直接計算大的 A^n 是沒希望的，但有了約當形它就是一個逐塊的公式。由 A = P J P^-1 得 A^n = P J^n P^-1，而 J 分塊對角，所以你只需把每個約當塊取 n 次冪——而單個塊有乾淨的閉式。

用 f(x) = x^n 套「約當塊的函數」公式。對塊 J_k(lambda) = lambda*I + N，二項展開 (lambda*I + N)^n = sum_{j=0}^{k-1} C(n,j) lambda^{n-j} N^j 在 j = k-1 處終止，因為 N^k = 0。所以 J_k(lambda)^n 的各元是二項係數組合 C(n,j) lambda^{n-j}，落在第 j 條超對角線上。

答案的形狀才是重點：對虧損矩陣，A^n 像（n 的多項式）乘以 lambda^n 那樣增長。大小為 k 的塊貢獻一個關於 n 的、次數至多 k-1 的多項式。這就是為何一個模為 1 的特徵值若處於非平凡約當塊中，會使冪多項式式地增長，而非保持有界。

它驅動著離散動力系統 x_{n+1} = A x_n、馬可夫鏈、費波那契型遞推、以及 PageRank 式迭代的漸近行為。主特徵值的模決定指數式的增長／衰減，而它的塊大小決定多項式修正——兩者都直接從約當形讀出。