約當標準形

並非每個矩陣都能對角化。約當標準形是我們總能達到的最接近對角的結果：在複數域上，每個方陣 A 都相似於一個分塊對角矩陣 J = diag(J_1, ..., J_m)，其中每個 J_k 是一個約當塊——幾乎對角，只是對角線正上方可能出現一些 1。它回答了一個普遍的問題：「透過選取合適的基，我能把 A 化得多簡單？」

確切地說：存在可逆矩陣 P 使得 P^-1 A P = J，其中 J 是分塊對角的，每個塊 J_k(lambda) 是上三角矩陣，對角線上是同一個重複的特徵值 lambda，超對角線上是 1。特徵值恰好是特徵多項式的根；各塊的大小與個數由 A 唯一確定。可對角化矩陣就是每個塊大小都為 1 的特殊情形。

它之所以重要，是因為這是一個完整的分類：兩個複矩陣相似，當且僅當它們有相同的約當形（塊的排列順序不計）。所以這個形是一種指紋。需要注意的是它生活在 C 上——你需要一個代數閉域，使特徵多項式能完全分解。在 R 上你可能要轉到複數，或者改用實約當形。

它在理論與證明中極為有用，但在數值上很脆弱：極小的擾動就能把一個約當塊拆散，因此浮點計算中人們通常更願意用 Schur 形或 SVD。用約當形去「理解」一個矩陣，而不是用它來做計算。