可對角化作為特殊約當形

對角化是你在初階課程裡遇到的順利情形：當存在完整的特徵基時，A = P D P^-1，其中 D 對角。約當形是普適的升級：每個 C 上的算子都有一個，而可對角化不過是每個約當塊大小都為 1 的情形——根本沒有超對角線上的 1。

分界線是代數重數與幾何重數之間的缺口。A 可對角化，恰當對每個特徵值，幾何重數都等於代數重數——等價地，當極小多項式沒有重根時。任何特徵向量不夠的特徵值（虧損特徵值）都會逼出一個大小 >= 2 的塊，得到一個真正非對角的約當形。

所以約當形以盡可能乾淨的方式推廣了對角化：它保留了對角化所給的一切（與算子適配的基、易算的冪、易算的函數），只添加了恰到好處的額外結構——約當鏈、非對角線上的 1——以覆蓋單個特徵基觸及不到的虧損算子。

實踐上這把「A 可對角化嗎？」改寫為「所有約當塊的大小都是 1 嗎？」，秩跳躍公式可從核維數回答這個問題。它也解釋了為何可對角化矩陣是「一般的」：隨機矩陣以機率 1 有互異特徵值，故全是大小 1 的塊；虧損是測度為零的例外情形，而約當形正是為處理它而生。