秩跳躍公式

不算特徵向量，怎麼求約當形？靠數數。隨著 k 增大，冪 (A - lambda*I)^k 的核不斷增大，然後停止；它們增長的方式恰好編碼了塊的大小。秩跳躍公式把這些維數之差轉化為每種大小的塊的確切個數。

記 n_k = dim ker(A - lambda*I)^k（約定 n_0 = 0）。一階差分 d_k = n_k - n_{k-1} 構成一個不增的數列（這就是韋爾特徵）。那麼 lambda 的大小恰為 k 的約當塊個數就是二階差分：（大小為 k 的塊數）= d_k - d_{k+1} = (n_k - n_{k-1}) - (n_{k+1} - n_k) = 2*n_k - n_{k-1} - n_{k+1}。

把它讀成一個故事：d_1 = n_1 是塊的總數（幾何重數，每塊一個特徵向量）。其後每個 d_k 計的是大小至少為 k 的塊數。所以從 d_k 到 d_{k+1} 的下降量，就是大小恰為 k 的塊數。一旦核不再增大（d_k = 0），所有塊就都齊了。

這是本主題的實用核心：只需對幾個矩陣冪做秩的計算——無需特徵向量——你就能讀出每個特徵值的整套約當結構。這也使唯一性顯而易見，因為這些維數都是相似不變量。