約當形的唯一性

存在性說每個複矩陣都「有」約當形。唯一性說它本質上只有「一個」：約當塊的清單——出現哪些特徵值、各有哪些塊大小——完全由 A 決定。唯一的自由是你把這些塊沿對角線排列的順序。

確切地說：若 P^-1 A P = J 與 Q^-1 A Q = J' 都是 A 的約當形，則 J 與 J' 有相同的塊多重集，故 J' 由 J 重排塊而得（特徵向量／鏈則可不同）。證明就是秩跳躍公式：對每個 lambda，數 dim ker(A - lambda*I)^k 在相似變換下不變，而它們釘死了每個塊的大小，沒有任何選擇餘地。

這正是約當形成為真正標準形的原因：它是相似類的一個代表元，至多差一個平凡的重新標號而唯一。固定一種排序約定（比如先按特徵值、再按塊大小遞減），這個形就字面意義上唯一了——每個相似類一個範式。

回報是分類定理：兩個複矩陣相似，當且僅當它們有相同的約當形。唯一性正是把「僅當」這個方向說銳利了——同一個算子，同一組塊，毫無歧義。