由約當形得到相似不變量

兩個矩陣何時是「換了身衣服的同一個算子」？當它們相似時：B = P^-1 A P（對某個可逆 P）。約當形完整地回答了分類問題：兩個複矩陣相似，當且僅當它們有相同的約當形（相同的特徵值與相同的塊大小），塊的排序不計。

所以 C 上完全的相似不變量集合是：特徵值的清單，連同每個特徵值的塊大小分拆。無需其他，也不能省略。等價地，這些不變量就是所有的數 dim ker(A - lambda*I)^k，秩跳躍公式把它們化為塊大小。

你已熟知的較粗的不變量——跡、行列式、特徵多項式、秩、乃至極小多項式——都是約當數據的函數，但單憑哪一個都不完整。例如特徵多項式釘死了特徵值與代數重數，卻定不住塊大小；[lambda, 1; 0, lambda] 與 lambda*I 有相同的特徵多項式，卻不相似。

經典不變量中極小多項式最接近完整：它在 lambda 處的次數等於 lambda 的最大塊大小。所以極小多項式等於特徵多項式，恰好意味著每個特徵值只有一個塊（非減次／循環矩陣）。但要恢復所有塊大小，你仍然需要完整的約當分拆。