約當塊

約當塊是最小的不可對角化構件。大小為 k 的約當塊 J_k(lambda) 是一個 k 階方陣：對角線上一路重複著特徵值 lambda，超對角線（對角線右上方緊挨的位置）上是 1，其餘全為零。大小為 1 的塊就是純量 [lambda]。

每個約當塊只有一個特徵值 lambda，其代數重數為 k（它在對角線上出現 k 次），但幾何重數恰為 1——特徵子空間是一維的，由第一個標準基向量張成。代數重數與幾何重數之間的這道缺口，正是對角化無法彌補的，也正是那些非對角線上的 1 所記錄的。

為何不可分解：一個約當塊無法拆成更小的不變子空間的直和；它是這套理論的原子。整個約當標準形不過是這些原子的直和（分塊對角的堆疊）。把 J_k(lambda) 寫成 lambda*I + N，其中 N 是超對角線上為 1 的冪零移位矩陣，就把「縮放」部分 lambda*I 與「移位」部分 N 分開，使求冪、求 exp 之類的公式變得簡單。

關於約定的一點提醒：有些作者把 1 放在次對角線（subdiagonal）上。兩種約定給出的塊互為轉置（因而相似），所以分類是相同的；讀取具體元素前先確認你的書用的是哪一種。