約當鏈

約當鏈是生成一個約當塊的那串向量。從一個特徵向量出發，不斷求解「向上一層」的方程：你搭起一架梯子 v_1, v_2, ..., v_k，算子把每一級推回到前一級（再加上 lambda 倍的自身）。這串相連的向量恰好是顯出單個塊的合適基底。

確切地說，對於特徵值為 lambda 的 A，一條長度為 k 的約當鏈是向量 v_1, ..., v_k，滿足 (A - lambda*I) v_1 = 0 且 (A - lambda*I) v_j = v_{j-1}（j = 2, ..., k）。最底部的 v_1 是真正的特徵向量；其餘的是廣義特徵向量，因為 (A - lambda*I)^j v_j = 0 但 (A - lambda*I)^{j-1} v_j != 0。開啟整條鏈的向量 v_k 稱為首（頂）廣義特徵向量。

在單條鏈張成的子空間上，按有序基 v_1, ..., v_k，算子的作用恰好等於單個約當塊 J_k(lambda)：A v_1 = lambda v_1，且 A v_j = lambda v_j + v_{j-1}。所以鏈與塊是同一對象的兩種視角——塊是矩陣，鏈是基底。

實踐中求鏈要從頂部往下做：先在 ker(A - lambda*I)^k 中取一個不被更低次冪消滅的向量，然後反覆作用 (A - lambda*I)，依次讀出梯子的其餘各級。把若干條獨立的鏈堆疊起來，就得到完整的約當基。