廣義特徵子空間與塊組

普通特徵子空間 ker(A - lambda*I) 往往太小——每個約當塊它只看到一個特徵向量。廣義特徵子空間彌補了這點：G_lambda = ker(A - lambda*I)^m，其中 m 足夠大（即 lambda 的指標）。它收集了 lambda 的所有鏈，故其維數等於 lambda 的代數重數。

關鍵的結構事實：整個空間是各廣義特徵子空間的直和，每個不同特徵值對應一個。每個 G_lambda 都是 A-不變的，且 A 限制到 G_lambda 上只有 lambda 一個特徵值；等價地，A - lambda*I 在那裡冪零。所以 G_lambda 正是屬於 lambda 的全部約當塊的家——那個特徵值的「塊組」。

這是從冪零情形通往一般定理的橋。先分解為廣義特徵子空間；在每個上 A - lambda*I 冪零，於是冪零約當定理給出 lambda 的塊；再跨特徵值重新組裝，便得完整的約當形。這個分解正是由部分分式／譜投影具體實現的那個分解。

與可對角化情形對照：A 可對角化，恰當每個廣義特徵子空間都與普通特徵子空間重合（每塊大小為 1）。差額 dim G_lambda 減去 dim ker(A - lambda*I)，逐個特徵值地度量了 A 離可對角化有多遠。