矩陣平方根

矩陣 A 的平方根是任意滿足 B^2 = A 的 B。它何時存在？有多少個？怎麼構造？約當形加函數演算同時回答這三問，辦法是把問題逐塊地歸約到單個約當塊上，那裡 sqrt 變成一次泰勒級數計算。

在 lambda != 0 的單個約當塊 J_k(lambda) 上，函數 f(x) = sqrt(x) 解析，故 f(J) 由「約當塊的函數」公式算出：對角線上是 sqrt(lambda)，sqrt 在 lambda 處的各階導數沿超對角線上升。給 sqrt(lambda) 選定一個分支就得到該塊的一個平方根；逐塊這樣做（再共軛回去）便得到 A 的一個平方根。

存在性與唯一性取決於特徵值 0。若 A 可逆（無零特徵值），平方根總存在，且有一個特出的「主」平方根（特徵值落在右半平面的連續分支）。平方根的個數隨每個特徵值的分支選擇而增長；對一個可逆、可對角化且特徵值互異的 A，共有 2^(特徵值個數) 個。

微妙的情形是奇異的 A。一個大小 >= 2 的冪零約當單塊沒有平方根，因為 sqrt 在 0 處不解析，且鏈結構構成阻礙（例如 2x2 冪零陣 [0,1;0,0] 不是任何 B^2）。所以一個奇異矩陣是否有平方根，敏感地取決於它的零特徵值約當塊——這正是約當形要解決的那類問題。