行列式-跡恆等式

行列式與跡是附著於算子的兩個最簡單的無基數，一張恆等式之網把它們聯繫起來。招牌是 det(exp A) = exp(tr A)：對矩陣取指數，通過指數函數把跡（一個和）變成行列式（一個積）。這兩個不變量不是各自獨立的奇景；它們是同一個多項式——特徵多項式——的兩端係數。

二者都是特徵值 lambda_1, ..., lambda_n 的初等對稱函數。行列式是它們的積，det = lambda_1 * ... * lambda_n；跡是它們的和，tr = lambda_1 + ... + lambda_n。更完整地，特徵多項式 det(t*I - A) = t^n - (tr A) t^(n-1) + ... + (-1)^n det(A) 的諸係數正是特徵值的初等對稱函數 e_1, ..., e_n；跡是 e_1（差一符號），行列式是 e_n。其間的每個係數都是另一個對稱函數，一個「高階跡」。

恆等式 det(exp A) = exp(tr A) 由此乾淨地導出：exp A 的特徵值是 exp(lambda_i)，故 det(exp A) = exp(lambda_i) 之積 = exp(lambda_i 之和) = exp(tr A)。這是動力系統中劉維爾定理的線性代數內核（一個流的體積增長由其生成元的跡支配），也是動矩陣公式 d/dt det(M(t)) = det(M) * tr(M^-1 M') 的內核。

注意：tr A 是按代數重數計的特徵值之和，det A 是它們之積，並且要在複數（或任意代數閉體）上才使所有特徵值存在。在實數上矩陣可能缺乏完整的實特徵值集，然而跡與行列式作為關於元素的多項式量仍是實的且良定義的——它們無論如何都是誠實的不變量，只是不再字面上是實特徵值的實積或實和。