外尔不等式（特征值）

假设你知道自伴算子 A 的特征值，然后把它微调为 A + B，其中 B 也自伴。特征值能移动多远？外尔不等式给出尖锐的界来回答，它们是特征值扰动理论的基石。它们直接从库朗-菲舍尔极小极大刻画导出，因为那个公式在相同子空间上比较 A 与 A + B 的瑞利商。

把特征值按降序排列。最简单的外尔界说每个特征值的移动不超过扰动的大小：|lambda_k(A + B) - lambda_k(A)| <= ||B||，其中 ||B|| 是 B 的最大 |特征值|（算子范数）。更精细的外尔不等式给出交错式的界，如 lambda_{i+j-1}(A + B) <= lambda_i(A) + lambda_j(B)，把和的谱夹在各自谱之和之间。它们准确告诉你 A + B 的特征值如何与 A 和 B 的交错。

这些界之所以重要，是因为真实矩阵从不被精确知晓。测量噪声、舍入和建模误差都会扰动一个算子，而外尔保证特征值是稳定的：一个小的对称扰动只能把每个特征值移动一点点。这种 Lipschitz 稳定性是自伴世界特有的——非正规矩阵的特征值可能在微小扰动下剧烈跳变。同一圈想法还导出柯西交错定理（删去一行一列使每个特征值至多移动一个位次）和 Lidskii 型优超结果。