瑞利商

特征值通常通过解特征方程求得，但对自伴算子，有一个灵活得多的把手：一个对任意非零向量都能算出的数。向量 v 的瑞利商是 R(v) = <Tv, v> / <v, v>。从几何上看，它度量 T 把 v 沿 v 自身方向拉伸了多少，并经归一化使得缩放 v 不改变答案。

对自伴 T，关键事实如下。瑞利商总是实数，且当 v 遍历所有非零向量时，R(v) 恰好遍历区间 [lambda_min, lambda_max]，从最小特征值到最大特征值。端点恰在对应的特征向量处取得：R(v) 在最大特征向量处取最大、在最小特征向量处取最小。于是特征值不再是多项式的根，而成了一个优化问题的极值。

这个变分视角极其有用。它把特征值估计变成了对一个光滑函数求极大或极小，数值方法可直接进攻（幂迭代及其改进都源于此）。它也让界变得容易：代入任意试探向量 v，立刻知道 lambda_min <= R(v) <= lambda_max，无需对角化。它还是完整极小极大定理的种子，该定理把这个想法从两个极端特征值推广到中间的每一个特征值。