谱定理（自伴）

在第一卷里你学过，有些矩阵可对角化，有些则不行。谱理论的第一个胜利，是指出一大类自然的算子总是可对角化，而且是以最理想的方式对角化：自伴算子。有限维内积空间上的算子 T，当 T = T^* 时称为自伴，即对所有向量 u、v 都有 <Tu, v> = <u, Tv>。对实矩阵这就是 A = A^T（对称）；对复矩阵则是 A = A^*（厄米，即共轭转置）。

定理断言：每个自伴算子都有一组标准正交的特征向量基，且每个特征值都是实数。于是整个空间可写成各特征子空间的正交直和，算子只是把每个子空间按一个实数缩放。没有亏损方向，没有 Jordan 块，没有藏着的复特征值——几何结构完全透明。特征值为实可由一行计算得出：若 Tv = lambda v 且 v 非零，则 lambda <v,v> = <Tv,v> = <v,Tv> = conj(lambda) <v,v>，迫使 lambda = conj(lambda)。

为什么这里的正交性是白送的，而一般可对角化矩阵只给你一组（可能歪斜的）特征基？因为不同特征值的特征向量自动正交：若 Tu = lambda u、Tv = mu v 且 lambda != mu，则 lambda <u,v> = <Tu,v> = <u,Tv> = mu <u,v>，故 (lambda - mu)<u,v> = 0 迫使 <u,v> = 0。在重特征值内部，可用 Gram-Schmidt 正交化。回报巨大：自伴算子之所以是物理学的矩阵（可观测量、协方差、应力），正是因为它们的特征值为实、特征方向互相垂直。