谱分解

写下一个可对角化算子有两种方式。一种列出特征向量和特征值。另一种是谱分解，用投影来重新打包同样的信息，结果在计算上要方便得多。若正规算子 T 有相异特征值 lambda_1, ..., lambda_k，则谱分解为 T = lambda_1 P_1 + ... + lambda_k P_k，其中每个 P_i 是到 lambda_i 特征子空间的正交投影。

这些投影遵守三条干净的规则，使该分解成为名副其实的“分解”：每个 P_i 自伴且幂等（P_i^2 = P_i，即正交投影）；相异的互相正交（i != j 时 P_i P_j = 0）；它们合起来重构恒等，P_1 + ... + P_k = I。最后这个等式称为“恒等的分解”：这些投影把整个空间切成互相垂直、不重叠、无空隙的特征子空间块。

妙处在于投影替你做完了全部记账。幂瞬间坍缩：T^2 = sum lambda_i^2 P_i，因为交叉项 P_i P_j 消失。任意多项式 p 给出 p(T) = sum p(lambda_i) P_i。这正是函数演算的起跳台，在那里 p 被换成任意函数 f。注意分组是按相异特征值，而非按特征向量——一个重特征值只贡献一个到它整个（可能多维的）特征子空间的投影。