函数演算

一旦能把算子对角化，你能做的就远不止加法和乘法——你可以把它喂给一个函数。想法朴素得令人吃惊：若 T 把特征方向 q_i 按 lambda_i 缩放，那么 T 的函数 f 就应把同一方向按 f(lambda_i) 缩放。函数演算把这件事说精确。给定谱分解 T = sum lambda_i P_i，定义 f(T) = sum f(lambda_i) P_i。你只需把 f 作用在每个特征值上，投影保持不变。

这一个定义统一了你曾零散见过的一堆构造。多项式吻合显然的含义：若 f(x) = x^2 则 f(T) = T^2。取 f(x) = 1/x（当 0 不是特征值时有定义）给出 T^-1。在正算子上取 f(x) = sqrt(x) 给出平方根。取 f(x) = exp(x) 给出矩阵指数 exp(T)，线性微分方程的引擎。所有这些都是同一条规则：f 逐个特征值作用。

有两点使它严格且行为良好。其一，它只需 f 在 T 的谱上有定义，而谱是一个有限数集——所以即便 f 在别处行为狂野也无妨。其二，由于各 P_i 是和为 I 的正交投影，映射 f -> f(T) 尊重加法和乘法：(f g)(T) = f(T) g(T)，且 f(T) 与 T 交换。对自伴 T 配实值 f，结果自伴；对一般正规 T，任意复值 f 都可作用在其复谱上。