谱映射定理

如果说函数演算告诉你如何造出 f(T)，那么谱映射定理告诉你它的特征值是什么——而答案正如你所愿。f(T) 的谱（特征值集合）是 T 的谱在 f 下的像。紧凑地写：spectrum(f(T)) = f(spectrum(T))。函数以最简单的方式搬运特征值，逐点施加 f。

这从谱分解看几乎是显然的，但仍值得明说，因为它省去大量工作。若 T 有特征值 2 和 -3，则 T^2 有特征值 4 和 9，exp(T) 有特征值 exp(2) 和 exp(-3)，(T - I)^-1 有特征值 1 和 -1/4。你永远无需重新计算特征多项式；只需把旧特征值推过 f。特征向量丝毫不动，动的只是它们的标签。

定理还带来干净的结构性推论。T 可逆当且仅当 0 不在其谱中，这正是 f(x) = 1/x 恰在此时被允许的原因。T^k 的谱半径（最大 |特征值|）是 T 谱半径的 k 次方。基于特征值的判据也得以转移：自伴 T 为正当且仅当其谱落在 [0, 无穷) 中，故其平方根 sqrt(T) 的谱是那些值的 sqrt，仍非负。在有限维下，证明从 f(T) = sum f(lambda_i) P_i 一行可得；同样的命题经小心处理后可延伸到无限维空间上的有界算子。