正平方根

每个非负数恰有一个非负平方根。谱定理把同样的特权赋予算子。若 T 是正算子，则有且仅有一个正算子 S 满足 S^2 = T，记作 S = sqrt(T) 或 T^(1/2)。其构造就是把函数演算施于函数 f(x) = sqrt(x)：取谱分解 T = sum lambda_i P_i，令 sqrt(T) = sum sqrt(lambda_i) P_i。

这之所以成立，恰因 T 为正：每个 lambda_i >= 0，故 sqrt(lambda_i) 是真正的非负实数，投影则保持不变。结果自伴（实特征值）、正（非负特征值）、与 T 交换，且平方回到 T。在正算子中的唯一性是微妙而重要之处：平方等于 T 的算子有许多（特征值任意取符号，或取非自伴的根），但其中只有一个本身是正的。

正平方根是两个头牌分解背后默默无闻的主力。在极分解中，每个算子 A 分解为 A = U P，其中 U 是部分等距，P = sqrt(A^* A) 是 A^* A 的正平方根——这是把复数写成（模）（相位）的算子类比。而 A 的奇异值恰是 P 的特征值，这正是 SVD 与 A^* A 的谱定理为同一结构的两种视角的原因。每当你需要对一个正变换干净地走半步时，这就是工具。