谱定理与正定性

数的正性意味着落在零的右边。谱定理让你把这个想法提升到算子上，且行为同样干净。当对每个向量 v 都有 <Tv, v> >= 0 时，自伴算子 T 称为正（更准确地说，半正定）。从几何上看，T 从不把向量指回它自身的反向：输出沿输入方向总有非负分量。

谱定理把这个分析条件化为关于谱的透明陈述。自伴算子为正当且仅当它的所有特征值非负；严格为正（正定）恰当所有特征值严格大于 0。理由从瑞利商立即可见：<Tv, v> / <v, v> 遍历 [lambda_min, lambda_max]，故二次型保持非负恰当 lambda_min >= 0。算子的正性就是其谱的正性，仅此而已。

这一刻画是通往整套工具的门户。由于每个特征值都是非负实数，函数演算可以施加那些只在 [0, 无穷) 上有意义的函数——最重要的是 sqrt，给出唯一的正平方根。它还解释了为何 Gram 矩阵 A^* A 总是正的（其特征值是奇异值的平方）、为何协方差矩阵是正的、以及为何正性在合同变换下保持。正算子是非负数的算子类比，而谱正是使这个类比精确的东西。