正定矩阵（positive definite matrix）

正定矩阵是一种特征值全部严格为正的对称矩阵。它相当于矩阵世界里的正数：正如一个正数总是把东西朝同一方向缩放，正定矩阵也绝不会以某种方式翻转向量，使得「能量」x^T*A*x 变成负数或零。

这个能量表达式正是直觉的核心。对任意非零向量 x，总有 x^T*A*x > 0。想象一片碗状的地形（一个凸抛物面），只有唯一的最低点：这个形状正是正定矩阵所描述的，这也是为什么这类矩阵在优化中是友好的情形——你希望有唯一的极小值可以一路滑下去。

它们还以协方差矩阵的形式出现在统计中（方差不可能为负），并让你能使用像 Cholesky 分解这样快速而稳定的方法。它有个近亲叫半正定，允许出现零特征值，使得 x^T*A*x >= 0，此时碗在某些方向上可能是平的。