谱定理
谱定理（正规）
自伴算子并非唯一拥有标准正交特征基的算子。在复数上，有一个简洁的条件一次性刻画了所有这样的算子。当算子 N 与其伴随交换时，称 N 为正规：N N^* = N^* N。自伴算子（N = N^*）、酉算子（N^* = N^-1）、反自伴算子（N^* = -N）都是特例，而正规是最宽的总称。
复谱定理断言：有限维复内积空间上的算子可酉对角化，当且仅当它是正规的。可酉对角化意味着存在一组标准正交的特征向量基，等价于 N = Q D Q^*，其中 Q 是酉矩阵，D 是对角矩阵。这是最一般的有限维谱命题：它精确划出了哪些算子拥有垂直特征基的边界。边界之内皆正规，正规者皆在内。
这里的特征值可以是任意复数，这正是定理活在 C 上的原因。每个特例只是对这些特征值落点的约束：自伴把它们逼到实轴上，酉把它们逼到单位圆上，反自伴逼到虚轴上。证明通常经由 Schur 定理（每个复矩阵都可酉上三角化），再说明对正规矩阵这个三角因子必为对角，因为交换条件抹去了所有非对角元。
N = [0, -1; 1, 0] (rotation): N N^* = N^* N = I, normal, eigenvalues i and -i over C
90 度旋转是正规但非自伴；在 C 上特征值为 i 和 -i，并有一组酉特征基。
正规性恰好是 C 上拥有垂直特征基的判据。一个快捷检验：N 正规当且仅当对所有 v 有 ||Nv|| = ||N^* v||，这使 ker N = ker N^*，迫使特征向量被共享且正交。
又称
另见