正规算子的换位子

给定算子 T，一个自然的对象是它的换位子：与它交换的所有算子 S 的集合，即 S T = T S。这个集合是一个代数（对加法、乘法、数乘封闭），而对正规算子，谱定理精确描述了它。其结构完全由特征值如何聚集所决定。

在使 T = sum lambda_i P_i 对角的标准正交特征基中工作。算子 S 与 T 交换，恰当 S 保持 T 的每个特征子空间：对每个 i，S 把 lambda_i 的特征子空间映入自身。在特征基下这意味着 S 是分块对角的，每个相异特征值有一个自由块，块的大小等于该特征值的重数。不同块之间没有约束，但块外的一切都必须为零。所以换位子是若干满矩阵代数的直和，每个相异特征值一个。

两个极端使图景具体。若 T 的特征值全相异，每块都是 1×1，于是换位子只含在同一组基下为对角的算子——而这些恰是函数演算中形如 f(T) 的算子。若 T 是恒等的标量倍（单个特征值且重数满），则只有一个块，一切都与 T 交换。因此换位子的大小度量了谱的简并程度：重复特征值越多，交换的自由度越大，而块结构恰好跟随谱分解。