由谱得到的正交投影

谱分解给每个特征值指派一个正交投影 P_i。值得把这些投影当作独立的对象来审视，因为它们是算子理论中最深刻想法之一——投影值测度——的有限维种子。投影 P_i 是到 lambda_i 特征子空间的正交投影；它回答的问题是：任意向量有多少住在那个特征子空间里。

把谱想象成一个微小的测度空间。对单个特征值，你指派它的投影 P_i；对一组特征值，你指派对应投影之和。这个指派的行为恰如一个测度，只是取值是投影而非数：它在不相交集上可加（并集的 P 是各部分之和，因为投影互相正交），空集映为 0，整个谱映为恒等 I（恒等的分解）。算子本身由把恒等函数对这个测度积分而复原：T = sum lambda_i P_i。

在有限维下这只是谱分解的记账，但它的推广蔚为壮观。对无限维 Hilbert 空间上的自伴算子，谱可以是一个连续统，根本没有特征向量，而和 T = sum lambda_i P_i 变成对一个真正的投影值测度的积分 T = integral lambda dP(lambda)。那个积分形式才是泛函分析的真正谱定理，也是量子可观测量的严格基础。一切都从这些有限维谱投影开始。