库朗-菲舍尔极小极大定理

瑞利商把最大和最小特征值钉为一个 max 和一个 min。库朗-菲舍尔定理则补全图景，为中间的每一个特征值给出它自己的变分公式。诀窍是不在整个空间、而在选定维数的子空间上优化瑞利商，再对挑哪个子空间做一次优化。

把自伴 T 的特征值排序为 lambda_1 >= lambda_2 >= ... >= lambda_n。第 k 个特征值是极小极大 lambda_k = 在所有 (n-k+1) 维子空间 W 上取 min，其中对每个 W 取 [ 在 W 中非零 v 上 R(v) 的 max ]。还有一个镜像的极大极小形式：lambda_k = 在所有 k 维子空间 U 上取 max，其中对每个 U 取 [ 在 U 中非零 v 上 R(v) 的 min ]。无论哪种，你扫遍各子空间，在每个内部取一个极端瑞利商，再对所有子空间取相反的极端。最优子空间由相应的特征向量张成。

其威力在于它刻画 lambda_k 时根本不提及其他特征向量——只用到维数和内积。这使它成为比较不同算子谱的标准工具。它立刻导出和的外尔不等式、主子矩阵的柯西交错定理，以及单调性结果：若在正定序下 T <= S，则对每个 k 有 lambda_k(T) <= lambda_k(S)。数值线性代数中许多扰动界离库朗-菲舍尔只有一两行之遥。