子空间（subspace）

子空间是塞在一个更大空间里面的向量空间——一个更小的舞台，而它本身就是供向量居住的、完全合格的地方。三维空间里的那张 xy 平面是一个子空间；平面里过原点的一条直线也是一个子空间。关键在于，子空间不是随便哪个子集；它必须像整个空间那样自给自足。

判断一个子集是不是子空间，有一个快速的三步检验。第一，它必须包含零向量。第二，它对加法封闭：把它里面任意两个向量相加，你仍然待在里面。第三，它对缩放封闭：把它里面任意一个向量乘以任意数，你仍然待在里面。三条全过，你就有了一个子空间；任何一条不过，就不是。一个实际的推论是：每个子空间都必须经过原点，所以一条偏离原点的直线或平面就不是子空间。

一个小例子：在 R^3 里，所有形如 (x, y, 0) 的向量组成的集合——也就是第三个坐标为零的全部向量——是一个子空间，正是我们熟悉的那张平坦的 xy 平面。它包含 (0, 0, 0)，两个这样的向量之和第三个坐标仍是零，缩放一个也保持那个零。但形如 (x, y, 1) 的向量集合不是子空间：它漏掉了原点，而且把两个相加会得到第三坐标为 2，落到了外面。