谱序列

谱序列是一种分阶段、逐次逼近地计算困难同调的方法。设想冲洗一张照片：模糊的初像经过一连串处理逐渐变清晰，每一遍都修正前一遍，直到稳定为真实的图像。谱序列对同调而言恰是这样一个过程——一系列“页”，每一页都取作上一页的同调，整个序列收敛到你真正想要的答案。

形式地说，（上同调型的）谱序列是一族双分次模 E_r^{p,q}（r ≥ r_0），每一族配有微分 d_r : E_r^{p,q} -> E_r^{p+r, q-r+1}，满足 d_r ∘ d_r = 0，并附有把 E_{r+1} 等同于 (E_r, d_r) 之同调的同构。指标 r 是页码；翻到下一页意味着对当前微分取同调。在良好条件下（例如第一象限），微分最终消失，各页稳定到极限 E_∞，于是称谱序列收敛到分次模 H，意即 E_∞^{p,q} 是 H^{p+q} 上某个滤过的相伴分次。

两大来源是滤过复形与双复形；二者都产生谱序列，其 E_2 页可计算，其极限即所求同调。经典实例包括把空间的上同调与底空间及纤维的上同调相联系的勒雷谱序列、用于扩张之群上同调的 Lyndon–Hochschild–Serre 谱序列，以及用于复合函子之导出函子的 Grothendieck 谱序列。诚实的告诫：谱序列只算出答案的相伴分次，故扩张问题仍须亲手解决，方能精确还原出 H。