极小多项式与特征多项式
算子的多项式相互交换
算子一般不交换：AB 与 BA 可以天差地别。但有一处安全港。同一个算子 T 的任意两个多项式彼此交换：p(T) q(T) = q(T) p(T)，永远如此。原因很简单：单个算子的幂彼此交换（T^i T^j = T^(i+j) = T^j T^i），而多项式正是由这些幂搭成的。
把 T 的全体多项式收进集合 F[T] = { p(T) : p in F[x] }。这是 End(V) 的一个交换子代数——对加法、标量乘法与（交换的）乘法封闭，并含有 I。它是坐落在一般不交换的全体算子之海中的一座小而温驯的交换之岛，其维数是极小多项式的次数。
交换的算子共享结构。每个 p(T) 都保持 T 的每个特征子空间与每个广义特征子空间不变，因为 (T - lambda I) 与 p(T) 交换，故 p(T) 把 ker(T - lambda I)^j 映入自身。特别地，谱投影、幂零部分与半单部分，以及 T^-1（当其存在时），都住在 F[T] 中并自动尊重 T 的特征结构。
这正是多项式方法对单个算子如此强大的原因：你从不离开一个友好的交换世界，你用 T 搭建的每个构造都继承 T 的不变子空间，而函数演算、谱投影与逆都坐落在一个整洁的代数里。另一面是：要关联两个不同的算子，你需要它们先交换，那是一个独立而更强的假设。
p(T) q(T) = q(T) p(T) for all polynomials p, q
F[T] = span{ I, T, T^2, ..., T^(d-1) }, d = deg(m_T)
p(T) maps each generalized eigenspace of T into itself
单个算子的所有多项式彼此交换，构成一个有限维交换代数，并自动保持该算子的不变子空间。
F[T] 是 End(V) 中含有 T 的最小子代数，恰为求值同态的像。它未必是与 T 交换的全体算子（完整的换位子可以更大），但它总坐落在那个换位子之内。
又称
另见