极小多项式与特征多项式
极小多项式
取有限维空间上的一个算子 T，把它逐次喂进幂：T，再 T^2，再 T^3，依此类推。由于全体算子构成的空间本身是有限维的，这些幂不可能永远保持线性无关——终会有某个组合 c_0 I + c_1 T + ... + c_k T^k 等于零算子。极小多项式正是其中最简单的那条关系：使 m(T) = 0 成立的、次数最低的首一多项式 m(x)。
精确地说，m(x) 是满足 m(T) = 0 的、次数最小的唯一首一多项式。“首一”指最高次系数为 1，这样就钉死了唯一的代表（否则你可把任意零化多项式随意缩放）。它的关键性质是：m(x) 整除每一个满足 p(T) = 0 的多项式 p(x)。所以它不只是众多零化多项式中的一员——它是通过整除关系统御其余所有的那一个。
为何在意它？极小多项式是算子代数行为的完整指纹。它的根恰是特征值；这些根是否重复就告诉你 T 是否可对角化；它的次数限定了 T 能有多复杂。两个相似的算子拥有相同的极小多项式，因此它是无需选坐标即可读出的相似不变量。
一个值得记住的注意点：极小多项式的次数可以比特征多项式更小。对 n 维空间上的恒等算子 I，特征多项式是 (x-1)^n，但极小多项式仅为 x-1，因为 I - I = 0 早已成立。极小多项式丢弃了膨胀的重数，只留下算子真正需要的部分。
A = [2, 1; 0, 2]: char poly = (x-2)^2, min poly = (x-2)^2
B = [2, 0; 0, 2]: char poly = (x-2)^2, min poly = (x-2)
两个特征多项式相同的矩阵。A 是单个约当块（亏损的），故其极小多项式保留平方；B 本就是 2I，故其极小多项式降为一次。特征多项式看不出的差别，极小多项式看得见。
极小多项式整除特征多项式（凯莱-哈密顿定理的推论），且二者有相同的根集——但重数可以不同。在两者中，极小多项式是更温和、更精简的那份记录。
又称
另见